skip to main | skip to sidebar
72 commenti

I conti in tasca al missile orbitale riutilizzabile di SpaceX

di Paolo G. Calisse

Paolo G. Calisse è una vecchia conoscenza di questo blog. Di professione fa l'astronomo ed ha collaborato con vari progetti internazionali, incluso ALMA, l'Atacama Large Millimeter Array. Tra le cose curiose che ha fatto durante la sua carriera, è anche stato il primo italiano a trascorrere un anno intero al Polo Sud, sempre lavorando come astronomo al locale osservatorio.

La sua passione – a suo dire “un po' infantile” – per aerei e missioni spaziali lo ha portato a scrivere questo breve articolo in cui fa i conti in tasca ai piani di Elon Musk di creare un sistema di vettori riutilizzabile. Ospito questo articolo sul mio blog in occasione del primo tentativo di ammaraggio controllato di un primo stadio di un vettore orbitale, avvenuto ieri nell'ambito della missione Dragon/CRS-3.

Paolo Attivissimo


Credit: SpaceX.
Tutto lascia credere che ieri 18/4/2014 sia avvenuto qualcosa di radicalmente nuovo nel settore aerospaziale: il primo stadio di un razzo, dopo aver avviato il proprio carico verso l'orbita, è ammarato intatto a est della Florida. Senza l'aiuto di paracadute o di ali, solo con l'aiuto dei propri propulsori per rallentare la caduta. SpaceX ha così dimostrato la possibilità di realizzare un primo stadio leggero e potenzialmente riutilizzabile, privo di appendici aerodinamiche come lo Space Shuttle e tanti altri progetti. In questo articolo cercheremo di capire come tutto questo sia possibile. 


AGGIORNAMENTO 25/4/2014 : In una conferenza stampa convocata oggi Elon Musk ha dichiarato: "Sono felice di confermare [...] che i dati ricevuti indicano che il vettore ha compiuto un atterraggio morbido e che era in perfette condizioni dopo di esso. [...] Il vettore [che è ammarato in una tempesta con onde di 6-8 m, nda] è stato distrutto dall'azione delle onde. [...] Abbiamo chiamato anche la guardia costiera ma ci hanno detto che non avevano intenzione di uscire dal porto [per recuperare il vettore]." A quanto pare a causa del maltempo sono stati recuperati solo alcuni pezzi dello stadio.

Il sogno di realizzare vettori riutilizzabili è nato insieme alle stesse imprese spaziali e prima ancora in tanti racconti e film di fantascienza. Il primo tentativo concreto di realizzarne uno, lo Space Shuttle, si è concluso tuttavia con risultati insoddisfacenti, costi ingenti e due terribili sciagure che hanno causato la morte di ben quattordici astronauti statunitensi.

Ma allora, è possibile pensare ad un rientro con retrorazzi? Dopo una breve introduzione allo stato attuale della tecnologia, apprenderemo la semplice algebra necessaria per valutarlo, per poi applicarla al caso specifico di un vettore come il Falcon 9R impiegato per il volo di ieri. L'articolo richiede solo una certa attenzione per seguire e comprendere tutti i passaggi necessari.


Aria o propellente?


Da quando Elon Musk, nel 2002, fondò SpaceX con l'obiettivo di realizzare un sistema di vettori orbitali riutilizzabili e per questo a basso costo, molti si chiedono se non si sia trattato di una mossa avventata. Perché infatti non utilizzare, come lo Space Shuttle, l'attrito atmosferico per frenare un oggetto al rientro dall'orbita, invece di sofisticati motori avidi di propellente ed esposti al calore e allo stress del rientro?


Lo Space Shuttle: bello e dannato


Lo Shuttle Endeavour nel 2001.
Credit: NASA.
Nonostante fosse un progetto iconico, ineguagliato per complessità e sofisticazione, lo Space Transportation System, come venne chiamato all'inizio, ha assorbito per decenni gran parte delle risorse economiche disponibili per il settore spaziale negli USA, impedendo lo sviluppo di nuovi e più efficienti vettori. Non poteva raggiungere orbite più elevate di qualche centinaio di km (contro i quasi 400.000 delle capsule Apollo lanciate dal Saturn V), né ha mai eguagliato le specifiche di progetto. Infine era solo parzialmente riutilizzabile: mentre l'Orbiter (la navetta stessa) e i due Solid Rocket Booster (i due razzi ai lati del vettore al momento del lancio) venivano recuperati, il sofisticato serbatoio principale del propellente, che costava 55 milioni di dollari di allora, andava distrutto al rientro nell'atmosfera.

Due sono le ragioni generalmente indicate come causa di questo sostanziale fallimento: (1) la richiesta dei militari di disporre di un oggetto capace di rientrare dopo una sola orbita, il che richiedeva, per le orbite polari, una notevole capacità di planata, e (2) la volontà di portare a bordo ben 7 astronauti per volta oltre ad un carico pagante di più di 22 tonnellate per le orbite basse. Queste richieste influirono pesantemente sul progetto, portando la massa del veicolo da iniettare in orbita ad oltre 90 tonnellate, contro le 6 di una capsula Apollo, e di conseguenza ad una moltiplicazione esponenziale delle difficoltà ingegneristiche da affrontare.

I problemi che queste scelte originarono furono tanti. Poiché, al contrario della navetta russa Buran, lo Space Shuttle non poteva operare missioni senza equipaggio e non vi era alcuna possibilità di fuga per gli astronauti nel caso di guasti gravi in alcune fasi critiche del volo, due incidenti diversi provocarono la perdita di due navette e la morte di ben 14 astronauti: di gran lunga più di qualsiasi altra navicella spaziale.

Infatti alcuni componenti come la schiuma usata per isolare termicamente l'enorme Main External Tank non sono mai stati completamente “commissionati”. La manutenzione, a causa dell'enorme potenza dei tre motori principali e della sofisticazione estrema dell'intero sistema, era costosissima e delicatissima, penalizzando i tempi di riciclo, aumentando a dismisura i costi di gestione e causando, nel tempo, un'affanosa ricerca di scorciatoie. Invece dei pochi giorni previsti, ogni volta occorrevano mesi e un'immenso dispendio di risorse e personale. È quindi in un certo senso sorprendente che si sia comunque riusciti a compiere 133 missioni con successo, nonostante il progetto sia di fatto diventato lettera morta.


Ricominciamo daccapo


Elon Musk, CEO e fondatore di SpaceX, ha seguito un approccio differente per un motivo preciso: sviluppare una tecnologia in grado di consentire il riutilizzo di tutte le componenti, con un abbattimento consistente dei costi, ma anche di programmare una missione su Marte utilizzando componenti simili e quindi sperimentati a fondo. Un sistema, quindi, scalabile ed in grado di consolidarsi progressivamente, con un notevole interscambio di conoscenze e componenti tra i vettori previsti per le diverse funzioni.

Illustrazione del Delta Clipper.
Credit: NASA.
Questo approccio innovativo è sembrato a molti, specie all'inizio, un azzardo: perché fare atterrare un oggetto di forma insolita, in equilibrio sulle zampe, invece di usare la tecnologia sperimentata dagli aerei di tutto il mondo? Pochi ci avevano provato prima di lui, e con risultati discutibili. McDonnell-Douglas negli anni '90 aveva realizzato un sistema simile, il Delta Clipper, con l'idea di sviluppare un sistema in grado di entrare in orbita con un solo stadio (single-stage-to-orbit, o SSTO), ma dopo un grave incidente aveva abbandonato il progetto.

Elon Musk, dopo un'accurata analisi di tutte le variabili in gioco (velocità alla separazione del primo stadio, disegno e numero dei motori, tecnologia impiegata, numero di stadi, ecc.), ha preferito puntare su un sistema a due stadi, entrambi recuperabili. Qui non ci occuperemo del secondo stadio e della navicella, ma nei piani di Musk anche queste due componenti saranno in grado di rientrare indipendentemente e di essere riutilizzate più volte, con l'obiettivo di ridurre i costi dei viaggi spaziali di almeno un fattore 10 rispetto a quelli attuali.

Ma come si può valutare la sua affermazione che è possibile progettare un primo stadio in grado di compiere autonomamente la frenata necessaria per atterrare dopo un lancio? Il propellente necessario per il rientro non appesantisce inutilmente il carico?


È tutta una questione di delta-v!


La tecnologia spaziale è complessa oltre ogni dire, ma la dinamica su cui si basa è più semplice di quel che si creda, proprio perché nello spazio le forze in gioco sono conservative e gli attriti in genere trascurabili.

Per rispondere alle due domande precedenti basta partire dall'Equazione di Tsiolkovsky (EdT nel seguito), o Equazione del Razzo, ideata al principio del ventesimo secolo da diversi ricercatori, che valuta quanto propellente è necessario per ottenere una differenza di velocità delta-v durante una manovra “orbitale”.

Per cominciare bisogna innanzitutto comprendere che l'ostacolo principale alla messa in orbita di un oggetto non è tanto la quota di almeno 2-300 km necessaria ad abbandonare completamente l'atmosfera, che può essere raggiunta piuttosto agevolmente anche con tecnologie abbastanza semplici, quanto la necessità di raggiungere la velocità orbitale, che è circa 25 volte quella del suono (detta Mach 1) ed è superiore a quella di tutto ciò cui siamo abituati sulla Terra, proiettili e caccia supersonici compresi.

L'EdT può essere scritta come:

DV = Vexh * ln (m0 / m1)

dove:

DV è la differenza di velocità tra "prima" e "dopo" una qualsiasi manovra
m0 è la massa iniziale del razzo
m1 è la massa residua del razzo dopo aver bruciato il carburante necessario
Vexh è la velocità del gas espulso dal motore (exhaust in inglese)
ln è il logaritmo naturale

La derivazione di questa equazione è fornita più in basso e deriva da una applicazione dei principi della dinamica newtowniana.

La formula si applica a qualsiasi motore a razzo in azione nel vuoto e dove non ci siano grandi variazioni di quota (torneremo più tardi su questo punto). È indipendente dal tipo di propellente usato, dalla potenza, dal numero di motori o da altri parametri. Anzi, può essere usata, almeno in prima approssimazione, in situazioni molto diverse...


Ispettore Callaghan, il caso è suo


Supponiamo per esempio che l'ispettore Callaghan spari un colpo in orizzontale con l'immancabile 44 Magnum mentre staziona su una pista di pattinaggio (attrito trascurabile): il rinculo lo farà partire in direzione opposta, ma a quale velocità? Sebbene sarebbe più corretto usare la conservazione della quantità di moto, data la grande differenza tra la massa del proiettile e quella dell'ispettore Callaghan anche l'EdT consente di calcolarla facilmente. Il proiettile di una 44 Magnum viene espulso a circa 450 m/s ed ha una massa di circa 20 g. Se Clint Eastwood pesa 80 kg (ovvero 80.000 g), pistola e proiettili inclusi:

DV = 450 m/s * ln (80.000/(80.000-20))
= 0,112514 m/s

ovvero comincerà a spostarsi nella direzione opposta, a causa del rinculo, ad una velocità di circa 11 cm al secondo (circa 0.4 km/h).

Ma quando Callaghan sparerà il suo secondo proiettile le cose cambieranno, sebbene di poco, in quanto la massa residua sarà diminuita di quella del primo proiettile sparato, e l'incremento di velocità, da aggiungere a quella precedente, diverrà:

DV = 450 m/s * ln ((80.000-20)/(80.000-40))
= 0,112542 m/s

Come prevedibile, il cambio di velocità fornito dal rinculo è aumentato rispetto a prima, sebbene di soli 0,112542 m/s - 0,112514 m/s = 0,0028 cm/s.

Ma nel caso di un motore a razzo come il Falcon 9R la quantità di propellente espulsa ogni secondo è letteralmente un fiume (oltre 2 ton/s). Di conseguenza la massa del carburante ancora a bordo diminuisce rapidamente, e questo rende l'accelerazione del razzo sempre maggiore, al punto che ad una certa quota i motori devono ridurre la loro spinta per evitare stress eccessivi alla struttura stessa del razzo.

Tornando quindi al caso dei lanci spaziali, risolvendo la EdT per m1, si può ricavare quanto propellente resta dopo avere operato un certo delta-v partendo da una massa iniziale del razzo m0:

m1 = m0 * exp(-DV / Vexh)

Per una manovra nello spazio vuoto questa relazione è quasi del tutto corretta. Durante un lancio da Terra, però, parte dell'energia viene spesa per contrastare la forza gravitazionale e l'attrito aerodinamico. La formula consente di trattare questi due fattori valutando il delta-v aggiuntivo (o sottrattivo) che deriva da entrambi:

delta-v = Vorb + Vgrav + Vaero

dove:
  • Vorb è la velocità orbitale da raggiungere, pari, per un orbita bassa, a circa 7.8 km/s
  • Vgrav è la velocità “persa” durante l'ascesa da Terra, calcolata in base a simulazioni o da precedenti lanci o da un'accurata analisi della traiettoria percorsa durante l'ascensione
  • Vaero e la velocità dissipata per combattere l'attrito aerodinamico
Tutte le velocità sono relative al riferimento a Terra. Per questo non viene qui considerato l'"aiutino" (0.4 km/s) dato dalla rotazione terrestre (Vorb) almeno quando si lancia verso Est. 

Consideriamo ora un vettore Falcon 9R v1.1 come quello lanciato ieri da Cape Canaveral per tentare un ammaraggio controllato. Per fare i conti numerici servono alcuni dati che riassumiamo nel seguito.


Il delta-v gravitazionale



Derivare l'EdT richiede qualche ricordo della matematica del Liceo, basta infatti calcolare le forze applicate al razzo e integrare nel tempo. Una è la spinta esercitata dal motore (nel seguito T, dall'inglese "Thrust" che significa appunto "spinta" e si misura in Newton) e l'altra, nel caso di un decollo con traiettoria verticale da terra, la forza peso m*g (in questa derivazione trascureremo l'attrito aerodinamico, e tutti gli altri fattori secondari). Dal Secondo Principio della Dinamica F=m*a, dove a è l'accelerazione, si ottiene:

m(t) * a(t) = F = T - m(t) * g

dove sono indicate tutte le quantità che variano nel tempo. Dividendo per m(t) si ottiene che:

a(t) = T / m(t) - g

E' abbastanza intuitivo che la spinta T sia pari al prodotto tra la velocità dei gas di scarico  Vexh e la massa k di propellente espulso per unità di tempo, T = Vexh * k. Calcolando l'integrale nel tempo di tutti i termini dell'equazione precedente:

  • il termine a sinistra, a(t), diventa delta-v. La variazione di velocità è infatti per definizione l'integrale nel tempo dell'accelerazione.
  • integrando T / m(t) = Vexh * k / [m0 - k*t] si ottiene proprio log(m0 / m1), dove m0 è la massa iniziale ed m1 quella finale.
  • il termine g, diventa g * t, ovvero il delta-v gravitazionale, almeno nel caso di traiettorie verticali.

In definitiva: 

delta-v = Vexh * log(m0 / m1) - g*t.

Se la traiettoria non è verticale il termine g*t diventa più complesso. Nel caso di manovre orbitali o in generale in tutti quei casi in cui la componente dell'accelerazione di gravità parallela alla direzione del moto è nulla, il termine g*t è a sua volta nullo, portando all'EdT come enunciata all'inizio.

Immaginiamo quindi due razzi: uno in grado di erogare una spinta di poco superiore al suo peso (basso thrust-to-weight ratio, o TWR), l'altro molto più potente (TWR elevato). Il primo impiegherà più tempo del secondo a raggiungere la velocità e la quota orbitali e per questo dovrà mantenere accesi i motori più a lungo. Nel caso estremo in cui la spinta fosse uguale al peso del vettore, sia il tempo che il propellente necessario a raggiungere la quota orbitale diventerebbero infiniti. E' ragionevole quindi che il tempo, e di conseguenza il propellente necessario per raggiungere una certa velocità, e quindi dello spegnimento dei motori (cut-off), diminuiscano mano a mano che il TWR aumenta.


Parametri relativi all'intero vettore


  • Massa totale al lancio: 482.500 kg. ȏ il peso totale approssimato del Falcon 9R al momento del lancio, incluse le "zampe" e tutto l'hardware addizionale necessario per l'atterraggio morbido.
Credit: SpaceX.


Parametri relativi al solo Primo Stadio:


  • Massa totale al lancio: 392.500 kg. Peso dichiarato del primo stadio al lancio, propellente e "zampe" incluse.
  • Massa inerte: 20.500 kg. È il peso del primo stadio quando si esclude il propellente. Questo valore rappresenta anche la massa minima da riportare intatta a terra, assumendo che il propellente sia stato consumato completamente durante il volo.
  • Massa del propellente: 372.000 kg. Si ottiene sottraendo la massa inerte dalla massa totale al lancio: 392.500 kg - 20.500 kg. Notare come oltre i tre quarti (372.000 kg / 482.500 kg) dell'intera massa del razzo sia costituito dal propellente del primo stadio.


Motore Merlin 1D


Il primo stadio del Falcon 9R (la R sta per riutilizzabile) è spinto da 9 motori Merlin 1D. Sviluppati interamente da SpaceX, questi motori a razzo potenti e leggeri sono disposti in una configurazione detta octaweb: otto motori in cerchio e uno al centro. I Merlin consumano un particolare tipo di kerosene detto RP-1 e ossigeno liquido, LOX in gergo, fornendo una velocità di emissione dei gas di scarico Vexh pari a 2.765 m/s. Useremo come ipotesi pessimistica questo valore, anche se in realtà nel vuoto i gas raggiungono una velocità circa il 10% superiore (3.050 m/s), incrementando di conseguenza la spinta fornita.


Profilo di volo


La separazione del primo stadio dal secondo dopo il lancio avviene ad una velocità di Mach 6, corrispondenti a 2.052 m/s, e ad una quota di circa 90 km. Nel caso dello Space Shuttle invece il serbatoio del propellente (il Main External Tank, o ET) veniva rilasciato già a velocità orbitale (Mach 25), rendendo necessario accelerare una massa ancora più grande di quella dell'Orbiter stesso. La bassa velocità alla separazione del primo stadio è una delle chiavi del possibile successo dei piani di SpaceX.

Dopo la separazione, il singolo motore presente nel secondo stadio del Falcon 9, quasi identico agli altri nove del primo stadio, si accende e inietta in orbita la navicella Dragon con il suo carico per la Stazione Spaziale Internazionale. Il primo stadio invece si riorienta "motori avanti" per mezzo di una prima accensione di tre dei nove propulsori. Lo stadio scende quindi in caduta libera fino a pochi secondi dall'ammaraggio, quando una seconda accensione rallenta di nuovo il vettore, già frenato dalla crescente pressione aerodinamica. Le 4 zampe si estendono e il Falcon 9 compie il proprio ammaraggio controllato.


Perdite gravitazionali ed aerodinamiche


Oltre a dover acquistare la velocità orbitale, un vettore deve anche guadagnare una quota tale da uscire completamente dall'atmosfera e contrastare l'attrito dovuto alla pressione aerodinamica. Nel primo caso si parla di perdita gravitazionale, una forza che tende a frenare il vettore in ascesa e ad accelerarlo durante la discesa, e che quindi lavora sempre contro la spinta esercitata dai propulsori. Il suo valore per il Falcon 9 può essere stimato a partire da quelli ottenuti da vettori analoghi, sebbene per un calcolo più accurato si possa procedere analiticamente in base alla traiettoria prevista. Il volume Space Propulsion Analysis and Design, di R. Humble, considerato la bibbia della propulsione a razzo, fornisce alcuni valori di confronto:

 Vettore
 Delta-V gravitazionale
 Delta-V aerodinamico
Ariane A-44L 
1.576 m/s
135 m/s
Atlas I 
1.395 m/s
110 m/s 
Delta 7925 
 1.150 m/s 
136 m/s 
Space Shuttle 
 1.222 m/s 
 107 m/s 
Saturn V 
 1.534 m/s 
 40 m/s
Titan IV/Centaur 
 1.442 m/s 
 156 m/s 

Il valore straordinariamente basso del delta-v aerodinamico (Vaero) del Saturn V non è un errore di stampa, ma è dovuto al basso rapporto tra la spinta generata dai 5 giganteschi motori F-1 di cui disponeva, veri e ineguagliati capolavori della tecnologia, e la massa del mastodontico vettore subito dopo il decollo, quando il razzo era ancora carico del propellente e di tutta l'infrastruttura necessaria alla sua lunga missione. Ciò riduceva la velocità negli strati più densi dell'atmosfera e di conseguenza la pressione aerodinamica, ma una volta alleggerito di gran parte del carburante l'accelerazione cresceva a valori elevatissimi. Per tutti gli altri vettori, Falcon 9 incluso, il rapporto tra spinta e peso del veicolo al decollo è molto più elevato, rendendo più efficiente l'ascesa nel primo minuto, ma generando velocità elevate quando la densità dell'aria è ancora elevata e quindi un carico aerodinamico nettamente superiore.

Assumeremo quindi una perdita per attrito aerodinamico di 130 m/s durante l'ascensione, come si vede trascurabile rispetto agli altri fattori. Al rientro, alcune simulazioni disponibili forniscono un valore di 280 m/s. Per inciso, il momento in cui la pressione aerodinamica è massima, il cosiddetto Max Q, avviene in genere poco oltre il primo minuto dal lancio.

Il valore del delta-v gravitazionale (Vgrav) per razzi come il Titan, simile al Falcon 9R, è di circa 1.200 m/s. Poiché il distacco del primo stadio con il Falcon 9R avviene a meno di 100 km di quota, e non alla quota orbitale, superiore a 200 km, useremo la metà di questo valore, ovvero un delta-v gravitazionale pari a 600 m/s.

In conclusione
  • durante l'ascensione abbiamo un delta-v totale di 2.052 + 600 + 130 m/s = 2.780 m/s
  • durante il rientro, invece, il delta-v aggiuntivo è di soli 2.052 + 600 - 280 m/s = 2.372 m/s in quanto l'attrito aerodinamico questa volta aiuta la frenata, collaborando con la spinta esercitata dai retrorazzi


Tuttavia, non è facile valutare il delta-v gravitazionale nel caso di una traiettoria di ascesa generica. E' più semplice, nell'ambito di questo semplice studio della fattibilità della strategia usata da SpaceX, usare valori tipici validi per altri vettori.

E adesso un po' di semplici calcoli


Inserendo i vari valori nell'equazione di Tsiolkovsky si ottiene la massa del razzo al momento del distacco del primo stadio:

m1 = m0 * exp (- DV / Vexh )
= 482.500 * exp (-2.782 / 2.765)
= 176.444 kg

Sottraendo la massa al lancio si ottengono la quantità di propellente già utilizzato e quella residua, ancora disponibile per attuare la frenata controllata durante il rientro:
  • Quantità di carburante utilizzato fino alla separazione: 482.500 kg - 176.444 kg = 306.056 kg
  • Quantità di carburante disponibile per il rientro: 372.000 kg - 306.056 kg = 65.944 kg
  • Massa del primo stadio DOPO la separazione: 20.500 kg + 65.944 kg = 86.444 kg
Come prevedibile, l'ascensione ha utilizzato gran parte del propellente necessario, visto che in ascensione al peso del primo stadio si aggiungono quello del secondo, del carico utile ma soprattutto del propellente stesso, da accelerare a Mach 6.

Sottraiamo da questo quantitativo residuo di propellente un ulteriore 5%, ovvero 306.056 kg * 0.05 = 15.303 kg, per tenere conto dei controlli di assetto e come margine di sicurezza. Il valore del combustibile disponibile per il rientro controllato diventa adesso 65.944 kg - 15.303 kg = 50.642 kg (tutti i valori sono stati ottenuti con calcoli in virgola mobile, donde le piccole discrepanze sulle unità dopo gli arrotondamenti).

Siamo arrivati alla domanda cruciale: è possibile compiere un rientro ed un atterraggio morbido con tale quantità di carburante?

Il peso del primo stadio immediatamente dopo la separazione è pari alla sua massa inerte più la quantità ancora disponibile di carburante appena calcolata: 20.500 kg + 50.642 kg = 71.142 kg.

Applichiamo finalmente l'EdT una seconda volta, per simulare la discesa:

m1 = m0 * exp( - DV / Vexh )
= 71.142 kg * exp ( -2.372 / 2.765 )
= 30.173 kg

Questa sarà la massa totale del primo stadio all'atterraggio. Ciò significa che durante la discesa sono stati usati almeno 71.142 kg - 30.173 kg = 40.968 kg di propellente. Il propellente residuo nel primo stadio si può calcolare sottraendo al propellente disponibile alla separazione il valore appena trovato:

50.642 kg - 40.968 kg = 9.673 kg

Questa quantità, circa 9 tonnellate metriche, rappresenta quasi il 20% (9.673 / 50.642) del propellente usato per la discesa, garantendo un notevole margine aggiuntivo per le correzioni eventualmente necessarie. Siamo quindi giunti alla conclusione che un primo stadio come quello del Falcon 9R è in grado, almeno sulla carta, di rientrare a terra! Possiamo immaginare che Elon Musk abbia svolto questi calcoli back-of-the-envelope (come si dice in inglese, ovvero su un pezzo di carta qualsiasi) prima di investire i propri "risparmi" in questa affascinante avventura.

Quel 20% di carburante residuo sembrerebbe anche sufficiente a garantire il controllo d'assetto durante la discesa e anche per effettuare un atterraggio direttamente al sito di lancio (Return to Launch Site, o RTLS), come nel programma a lungo termine di Musk. Le nostre stime grossolane dimostrano insomma che si può fare, che l'idea non è affatto peregrina. Va notato anche che la quantità di carburante necessaria all'ascensione, 306 tonnellate metriche, è nettamente superiore a quella necessaria per la discesa, 41 t.

Questa apparente magia è proprio dovuta al fatto che la massa inerte del primo stadio è una frazione marginale del peso dell'intero vettore al decollo: circa il 4%, come una lattina di birra da 330 ml. Provate a prendere in mano una lattina vuota: vi chiederete, considerando la massa dei nove motori Merlin e la rigidità necessaria ad un razzo, come sia possibile costruire uno stadio così leggero in grado di portare a bordo tutto quel propellente. Ma è proprio questa straordinaria leggerezza del primo stadio a ridurre la quantità di propellente necessaria per la discesa controllata rispetto a quella necessaria per l'ascensione.

Senza contare che un rientro ad alta velocità negli strati densi dell'atmosfera, con una prima breve accensione dei retrorazzi in alta quota e una in finale, poco prima dell'atterraggio, permetterebbe di sfruttare al meglio il freno aerodinamico, che va, almeno in prima approssimazione, con il quadrato della velocità. Quindi: più tardi si rallenta – compatibilmente con i problemi termici legati al surriscaldamento – meno propellente è necessario.

Non resta quindi che augurarsi che SpaceX sia in grado di risolvere i molteplici problemi tecnici che si troverà ad affrontare prima di poter affrontare un RTLS, non ultimi lo stress aerodinamico cui i motori e le parti più sensibili del vettore saranno sottoposti durante il rientro in atmosfera, o il preciso controllo dell'assetto durante la discesa.


Marte, prossima frontiera


In realtà Musk ha nel cassetto un obiettivo ancora più intrigante: lo sviluppo di vettori in grado di compiere una missione su Marte con equipaggio con ritorno a Terra. Fino ad oggi nessuna navicella è stata in grado di tornare in orbita dopo un atterraggio su Marte. Una missione umana avrebbe bisogno di questa funzionalità, sebbene Musk contempli anche piani per una colonizzazione senza ritorno, una specie di Mayflower alla scoperta di una nuova "America".

Gli stessi calcoli possono quindi essere applicati per esercizio per verificare se il primo stadio di un Falcon 9R sarebbe in grado di atterrare e tornare in orbita marziana. Il campo gravitazionale marziano è assai più debole di quello terrestre (Marte ha una massa che è solo il 10% circa di quella del nostro pianeta), la velocità orbitale è di “soli” 13.000 km/h. Perché non dovrebbe essere possibile?

Immaginiamo che un Falcon 9R, identico a quello usato per il rientro a Terra, venga inserito in orbita marziana. Non ci occuperemo di come questo possa avvenire. Supponiamo anche di rimuovere del tutto il secondo stadio e di avere a disposizione un carico utile pari a quello nominale per la missione terrestre. Su Marte possiamo utilizzare come velocità dei gas di scarico Vexh quella valida nel vuoto. Supponiamo inoltre, piuttosto ottimisticamente, che la perdita per gravità e quella per attrito atmosferico siano un decimo di quella terrestre, come la massa del pianeta.

Sorprendentemente, eseguendo i calcoli come sopra, ci accorgeremmo che il carburante disponibile non basterebbe. Come mai, visto che la gravità marziana è una frazione di quella terrestre? Perché, primo, atterrare e tornare in orbita richiede molto più carburante che andare in orbita e poi atterrare, e secondo, il primo stadio dovrebbe questa volta raggiungere la velocità orbitale, superiore a quella della separazione prevista nel caso di lancio dalla Terra.

Il piano di Elon Musk è tuttavia diverso da questa banale semplificazione e prevede lo sviluppo di un sistema più potente, con nuovi motori più performanti. Ci sono inoltre diverse differenze rispetto ad una missione sulla Terra. Parte del vettore, per esempio, potrebbe essere abbandonata sul suolo di Marte per un'inserimento in orbita più leggero.


Conclusioni


L'X-37B.
Credit: USAF.
Lo spazio vuoto è l'ambiente controintuitivo per antonomasia. Il motivo ultimo per cui la strategia dello Space Shuttle – utilizzare l'attrito aerodinamico per permettere il rientro controllato e quindi il riciclo del vettore – si è dimostrata più inefficiente e complessa del previsto è che ogni kg in più da mettere in orbita, a causa delle grandi superfici aerodinamiche necessarie per la frenata, richiede un incremento esponenziale della potenza dei vettori e della complessità del sistema.

Sistemi che utilizzano lo stesso principio, ma più piccoli e meno performanti, come il Dream Chaser, sorta di piccolo Space Shuttle adibito al solo trasporto di passeggeri, o l'X-37B, navicella cargo automatica già utilizzata più volte e al momento in orbita terrestre, potrebbero ovviare a questo problema. Nessuno è ancora in grado di dire se l'alternativa proposta da Musk sia migliore o meno dell'uso dell'attrito aerodinamico per frenare, o se piuttosto entrambe le tecnologie troveranno in futuro la loro utilità, come è piuttosto probabile.

Quello che abbiamo appena dimostrato è soltanto che quella di Musk è una scelta ragionevole e fattibile. Anche sul piano tecnico la potenza di calcolo e la sensoristica attuali permettono un controllo accurato dell'assetto di un oggetto come un razzo, nonostante possa apparire difficile come tenere una penna in equilibrio in verticale sul palmo della mano.


Bibliografia ragionata


[1] SpaceX, Video Captures SpaceX's Re-Lightable Engine. Nel video si vede, per la prima volta, un motore a razzo durante una fase di rientro nell'atmosfera di un vettore (a marcia indietro). Il video consente anche di verificare la quota alla quale il primo stadio si separa (100 km) e la massima quota raggiunta in volo balistico dal vettore (140 Km)).
[2] http://forum.nasaspaceflight.com/index.php?topic=9959.0, una discussione che spiega come valutare l'effetto dell'atmosfera e della gravità.
[3] http://aldaylongmusings.blogspot.com/2011/04/spacex-sanity-check.html, un esercizio simile svolto per il più pesante SpaceX Falcon Heavy.
[4] Space Propulsion Analysis and Design, R. Humble, 1996, per una discussione approfondita sulla propulsione a razzo.


Aggiornamenti


20/4/2014 - Rimossi alcuni errori tipografici alle formule. Grazie a Laserium per la segnalazione.
22/4/2014 - Aggiunto un paragrafo che descrive il significato fisico del delta-v gravitazionale
26/4/2014 - Aggiunto esito missione come da conferenza stampa con Elon Musk
27/4/2014 - Errore tipografico rimosso - Grazie a ByX-2K per la segnalazione
06/5/2014 - Aggiunto riferimento alla conservazione della quantità di moto nel calcolo della deriva dell'ispettore Callaghan - grazie a Riccardo "Rico" Montorzi per l'osservazione.
09/5/2014 - Aggiunta derivazione dell'EdT.
Invia un commento
I commenti non appaiono subito, devono essere tutti approvati da un moderatore. Lo so, è scomodo, ma è necessario per tenere lontani scocciatori, spammer, troll e stupidi: siate civili e verrete pubblicati qualunque sia la vostra opinione; gli incivili di qualsiasi orientamento non verranno pubblicati, se non per mostrare il loro squallore.
Inviando un commento date il vostro consenso alla sua pubblicazione, qui o altrove.
Maggiori informazioni riguardanti regole e utilizzo dei commenti sono reperibili nella sezione apposita.
NOTA BENE. L'area sottostante per l'invio dei commenti non è contenuta in questa pagina ma è un iframe, cioè una finestra su una pagina di Blogger esterna a questo blog. Ciò significa che dovete assicurarvi che non venga bloccata da estensioni del vostro browser (tipo quelle che eliminano le pubblicità) e/o da altri programmi di protezione antimalware (tipo Kaspersky). Inoltre è necessario che sia permesso accettare i cookie da terze parti (informativa sulla privacy a riguardo).
Commenti
Commenti (72)
Se volete saperne di pìu sulla rocket equation dovete provare Kerbal Space Program :)

PS: XKCD rilevante (ovviamente):
http://xkcd.com/1356/
A tutti quelli che vogliono provare a sperimentare costruzione di razzi, messa in orbita...
Non posso che consigliare Kerbal Space Program disponibile anche su Steam
Al di la' di alcune parti che hanno aspetto "giocoso" (come es. esserini simpatici alieni come astronauti).. e pianeti con nomi diversi da quelli nel sistema solare (cosi' lo sviluppatore non e' dovuto impazzire a ricreare tutto in modo fedele come grafica)....
Per il resto e' molto valido (permette anche di mandare in orbita piu' moduli, sonde, fare rendez vouz

E conoscendo la passione di Paolo... qua il tutorial su come arrivare sulla luna
http://www.youtube.com/watch?v=cmAMGJm-bwU
grazie a Paolo & Paolo per l'ottimo ed interessante articolo.
come ho detto in un commento all'articolo precedente, i miei dubbi restano.
si tratta comunque di tirarsi dietro un 15% di peso di carburante in più per poter riatterrare, oltre al peso dell'"hardware".
è però vero anche che tirarsi dietro delle superfici aerodinamiche probabilmente peserebbe uguale, col vantaggio che il carburante non lo devi revisionare dopo ogni volo.
appunto, tra qualche anno vedremo se aveva ragione Musk.
mi sono anche sempre chiesto se non fosse praticabile un lancio da alta quota: caricare un missile più leggero su un cargo e spararlo in orbita da 10-12.000 metri dove dovrebbe vincere una densità dell'aria tra 1/5 ed 1/10 di quella a livello mare credo avrebbe i suoi vantaggi...

per quello che riguarda marte, penso che l'unica soluzione sia una composizione in orbita della navicella, ed in questo una stazione orbitale è fondamentale, ma tanto quella ce l'abbiamo :D :D
si spedisce su un cargo con la navicella per marte, poi con un altro il lander e con un terzo il carburante necessario a tutti e due. si monta tutto quanto in orbita e si fanno arrivare gli astronauti che salgono a bordo, appicciano i motori col pieno di carburante e vanno.
tutto sommato si potrebbe spedire verso marte un altro cargo pieno solo di carburante per il rientro e mollarlo in orbita là: i nostri arrivano, amMARTANO :D, usano tutto il loro carburante per risalire in orbita dopo di chè fanno rifornimento col cargo che li aspettava là e se ne tornano a casa...
piece of cake.
le capacità le abbiamo dal 67 (và, famo dal 69 senza bulleggiarci troppo) manca la volontà politica.

"You promised me Mars colonies. Instead I got facebook"

E' bello Kerbal Space Program, ma continuo a preferire di gran lunga Orbiter (space flight simulator). Più frustrante, meno divertente, ma molto più realistico (fisica, mezzi, ecc..).
Imho ma in questo caso il primo stadio viene perso,
mentre solo il secondo stadio (più leggero e più piccolo) viene recuperato.
e allora c'è bisogno di meno carburante.
(cioè non è lo stesso razzo intero utilizzato nel video della dimostrazione)
comunque resta il fatto che è instabile, e basterebbe un colpo di vento,
per superare l'equilibrio critico, oltre il quale non è più recuperabile.
Inoltre i calcoli puri e semplici non tengono conto del problema
del controllo automatico, che nei casi sfavorevoli,
potrebbe consumare molto più combustibile del previsto.

Un peccato (veniale) nella descrizione teorica fornita dall'articolo: non è vero che "in realtà nel vuoto i gas raggiungono una velocità circa il 10% superiore, incrementando di conseguenza la spinta fornita". La velocità raggiunta dai gas di scarico è sempre la stessa; ciò che cambia in vuoto sono gli effetti della pressione ambiente (virtualmente nulla) che "aiutano" la spinta del razzo e provocano quel piccolo margine di miglioramento delle prestazioni.

Comunque, mi associo anch'io (da "rocket engineer") ai dubbi su questo veicolo. Vista la complessità delle operazioni di controllo necessarie (e la notevole imprevedibilità delle condizioni atmosferiche, velocità del vento etc.) è un'ipotesi del tutto velleitaria quella secondo cui il 20% di carburante in più sia sufficiente a garantire la discesa controllata. A me, a "occhio" e in base alla mia esperienza, sembra che siamo veramente ai limiti se non oltre...
Un peccato (veniale) nella descrizione teorica fornita dall'articolo: non è vero che "in realtà nel vuoto i gas raggiungono una velocità circa il 10% superiore, incrementando di conseguenza la spinta fornita". La velocità raggiunta dai gas di scarico è sempre la stessa; ciò che cambia in vuoto sono gli effetti della pressione ambiente (virtualmente nulla) che "aiutano" la spinta del razzo e provocano quel piccolo margine di miglioramento delle prestazioni.

Comunque, mi associo anch'io (da "rocket engineer") ai dubbi su questo veicolo. Vista la complessità delle operazioni di controllo necessarie (e la notevole imprevedibilità delle condizioni atmosferiche, velocità del vento etc.) è un'ipotesi del tutto velleitaria quella secondo cui il 20% di carburante in più sia sufficiente a garantire la discesa controllata. A me, a "occhio" e in base alla mia esperienza, sembra che siamo veramente ai limiti se non oltre...
Articolo molto interessante. Segnalo un paio di sviste nelle prime due equazioni dell'ispettore Callaghan. Nella prima c'è una parentesi di troppo dopo LN. Nella seconda manca il segno di frazione "/", qualche neofita potrebbe perdersi.
@F

mi sono anche sempre chiesto se non fosse praticabile un lancio da alta quota: caricare un missile più leggero su un cargo e spararlo in orbita da 10-12.000 metri dove dovrebbe vincere una densità dell'aria tra 1/5 ed 1/10 di quella a livello mare credo avrebbe i suoi vantaggi...

Qualcuno ci ha pensato e fra qualche anno vedremo i risultati: Swiss Space Systems (S3)

È comunque un piano molto meno ambizioso di quello di Musk e il progetto intende inserirsi in una nicchia di mercato riservata ai satelliti di 250 kg stazionati in un orbita bassa (700 km).

Altre info qui:

Razzi alla portata di tutti... o quasi
La futura navetta svizzera comincia a prendere forma
Ho fatto un piccolo errore, perche' sono stato tratto in inganno dal fimato,
e pareva proprio che il primo stadio fosse andato perso.
Invece hanno scelto per una via di mezzo, ovvero l'ammaraggio.
E come riportato dal sito :
http://arstechnica.com/science/2013/09/spacex-launches-falcon-9-v1-1-preps-for-reusable-boost-stage/
con l'atterraggio in acqua si sacrifica il 15% del carico utile.
Invece con l'atterraggio vero e proprio si stima quasi il doppio, ovvero il 30%
pero' dal sito :
http://spaceflightnow.com/falcon9/009/140414recovery/
sembra che l'ammaraggio non sia stato proprio indolore, perche' si parla anche di frammenti del missile.
Comunque, per tornare ai calcoli, senza far i conti in tasca a nessuno :-D
quancosa non mi torna, perche' ....
non bisogna paragonare la quantita' di propellente utilizzata per il lancio con la quantita' di propellente utilizzata per il rientro.
ma il confronto corretto dovrebbe essere con la quantita' di carburante strettamente necessaria al lancio
(con perdita totale del primo stadio)
contro la quantita' di carburante totale del lancio piu' recupero, visto che durante il lancio bisogna necessariamente
accelerare anche il peso aggiuntivo del carburante di rientro.
Eppoi ho un altro dubbio...
il Sign. Muschio ha investito i propri risparmi, come ha detto qualcuno,
oppure tenta di convincere gli azionisti ad investire in quote della societa' ? :-)
la differenza mi pare notevole.
saluti.
Per curiosita' aggiungo altri calcoli vari, dallo Shuttle al LEM.

http://www.princeton.edu/~stengel/MAE342Lecture11.pdf

Decenni fa esisteva un programma per l'atterraggio dello Shuttle, programma che girava nella calcolatrice tascabile HP41.
Possedevo quella calcolatrice e quel programma. Purtroppo non sono mai riuscito a far atterrare indenne lo Space Shuttle. Per fortuna la stampa non ne ha mai parlato :-)
kobotoz,

sembra che l'ammaraggio non sia stato proprio indolore, perche' si parla anche di frammenti del missile.

Attenzione, stai citando un articolo scritto prima del lancio di cui stiamo parlando. I frammenti citati nell'articolo sono puramente ipotetici.
Grazie di cuore.

Dopo varie (e magari fastidiose) richieste arriva questo!

Grazie vecchia conoscenza de ilDisinformatico.

Ancora! :)
@ paolo, ma esiste un video dell' ammaraggio ?
che comunque mi sembra la scelta meno spettacolare, ma più saggia,
sia in termini di payload (solo 15%) sia in termini di sicurezza.
Articolo veramente interessante, bello vedere ogni tanto dei calcoli e delle equazioni, in barba a chi ritiene che ad ogni equazione si dimezza il numero dei lettori.
Un po' fuori luogo il paragone fra Shuttle e Saturn V, due mezzi nati per scopi completamente diversi. A meno che non si debba mandare un carico sulla luna, lo Shuttle rimane di gran lunga più conveniente ;)
Saldone,

Un po' fuori luogo il paragone fra Shuttle e Saturn V, due mezzi nati per scopi completamente diversi. A meno che non si debba mandare un carico sulla luna, lo Shuttle rimane di gran lunga più conveniente ;)

Certamente.

Ma forse il fatto che si siano fatte unicamente missioni con equipaggio in orbita bassa dipende dal fatto che si è investito tutto sullo Space Shuttle, e non viceversa.

Se fosse stata presa la decisione di sviluppare un vettore qualificato per equipaggi partendo dal Saturno, senza puntare tutto sull'STS, le cose sarebbero andate diversamente. Avremmo avuto missioni abitate in orbita bassa E alta. E magari una base permanente sulla Luna, o la manutenzione di satelliti in orbita alta. O addirittura un rendez-vouz, se non un'atterraggio umano, su Marte.

un saluto
Saidone,

Un po' fuori luogo il paragone fra Shuttle e Saturn V, due mezzi nati per scopi completamente diversi

Non direi. Il Saturn V aveva lo scopo di portare in orbita terrestre lo stadio S-IVB, il LM e il CSM.


lo Shuttle rimane di gran lunga più conveniente

Dipende cosa intendi per "conveniente": vorrei vedere una tua analisi dettagliata dei costi per lancio. Io ho questi dati:

Costo medio di un lancio Shuttle: 1,2 mld $ (in dollari del 2010) Fonte: Nature

Costo medio di un lancio Saturn V: 3,5 mld $ (in dollari del 2007). Fonte: libro Stages to Saturn, Nasaspaceflight.com.

Queste cifre sono ottenute dividendo la spesa complessiva del programma STS / Saturn (inclusa la ricerca e lo sviluppo) per il numero totale di lanci.

Il Saturn V è più caro per singolo lancio, ma porta cinque volte il carico utile di uno Shuttle. Inoltre è penalizzato dal numero molto più piccolo di lanci (13 in tutto contro 131) sui quali distribuire i costi di sviluppo.

E' un calcolo spiccio, sicuramente migliorabile, ma dire che lo Shuttle fosse di gran lunga più conveniente credo che sia sbagliato. Dovresti aggiungerci un grosso "dipende da quanto carico voglio portare in orbita terrestre".
Angelo C.

non è vero che "in realtà nel vuoto i gas raggiungono una velocità circa il 10% superiore.

Avrei dovuto specificare la differenza tra "effective" ed "actual" (vera) "exhaust velocity", ma ho preferito semplificare. Quello che intendevo è che in genere ogni produttore di motore a razzo rilascia due valori dell'exhaust velocity (velocità di emissione dei gas), una per il vuoto, e una a terra. Grazie per la precisazione.
non ho capito una cosa e spero qualcuno possa rispondere alla mia perplessità: come è possibile che il Delta-V aerodinamico dello shuttle sia di soli 107 m/s, cioè più basso di un Delta, Titan o Ariane, quando si descrive la penetrazione aerodinamica dello shuttle scadente per consentirgli una buona planata? non dovrebbe essere più alto questo valore?
Paolo A.,

io ho interpretato quel "conveniente" di saldone con il fatto che il Saturn V non era disegnato per l'inserimento in orbita bassa di piccoli satelliti, al di là della convenienza economica. Che comunque non c'era, vedi per es. questo studio del 2002 di Futron Corp).

I fatti sono che al di là dell'indubbio fascino e raffinatezza, lo STS si è dimostrato un disastro economicamente parlando. E non solo.
F: mi sono anche sempre chiesto se non fosse praticabile un lancio da alta quota.

Un sistema del genere per l'immissione in orbita già esiste, è il Pegasus di Orbital Sciences. Molti altri sono in via di sviluppo, oltre a quello svizzero capeggiato da Claude Nicollier (che conosco personalmente).

Tuttavia, nonostante sia adatta per certe missioni, un sistema del genere non è così conveniente come si potrebbe pensare. Infatti, se si ragiona in termini di delta-v, upermette di risparmiare una porzione tutto sommato trascurabile del delta-v totale, e in più ha limitazioni intrinseche in termini di carico massimo, di riciclaggio dello stadio a razzo, etc.
caiioo giulio: ome è possibile che il Delta-V aerodinamico dello shuttle sia di soli 107 m/s, cioè più basso di un Delta, Titan o Ariane

Credo che come per il Saturn (vedi articolo), dipenda ancora una volta dal profilo di volo. Se acceleri meno all'inizio, e tanto più tardi, hai bisogno di più carburante ma risparmi gran parte del carico aerodinamico.

Ho cercato i profili di accelerazione di diversi vettori per fare un confronto, ma purtroppo li ho trovati solo per le missioni Apollo, quindi non sono in condizioni di fare un confronto.
A Mirko Speleo:

ho provato Orbiter: è preciso ma TROPPO frustrante! Io sono appassionato di strategici e gioco a simulatori di volo da "profano" (dedicando lunghe ore di calcoli e di studio a Civilization :)).
Quando mi voglio "rilassare" gioco a Kerbal, nonostante mi faccia sentire omicida... povero Bill... e tutti gli altri... quante vite sacrificate sull'altare del Progresso.
kobotoz,

il fatto che ci sia una "penalty" da pagare sul payload ha meno importanza di quella che credi. Quello che conta è il costo finale per portare una certa massa in orbita. Se tu perdi il 30% di carico (Musk in una vecchia intervista parlava addirittura del 40% per un vettore interamente riciclabile) puoi sempre o frazionare i lanci, o sviluppare un vettore più potente.

Il costo per lancio è legato al 1) numero di lanci per vettore prima di esaurirlo 2) costo del lancio e spese di "consumables" (propellente, etc.) e 3) tempo necessario per riciclare il vettore. Musk sostiene che il costo del vettore (1) incide per i 3/4 sul costo totale, mentre il carburante per lo 0.4%. I costi di riciclaggio invece dipendono strettamente dal "turn-around time", cioè dal tempo necessario per riciclare il vettore, che lui punta a ridurre a pochi giorni. Questo, se seguito dai fatti, porterebbe il costo di messa in orbita ad una frazione dei costi attuali.

p.s. approfitto per ringraziare tutti per i commenti, anche, e anzi soprattutto, visto che aiutano a chiarirsi e a chiarire le idee, quelli critici. E un grazie particolare a Paolo Attivisissimo per l'ospitalità, la disponibilità e professionalità dimostrata anche dietro le quinte.


@pgc

Grazie per l'articolo.

Una cosa che non ho ancora capito: ma il santo vale la candela? La revisione dei moduli e dei motori non rischia di rendere poco conveniente il tutto?

Presumo che i moduli dovranno essere ogni volta controllati a fondo alla ricerca di microcricche e altro così come i motori; che oltretutto sono ridondanti per garantirne l'affidabilità..

Poi confrontando il costo di un lancio con il Falcon 9 e di un Soyuz ST vedo che più o meno siamo lì (Space X stima un costo di 54 - 59 milioni di dollari mentre l' ESA spende 50 milioni di dollari a lancio con la Soyuz ST da Kourou; immagino che da Baikonur i costi siano minori).

Vero che il Falcon porta una tonnellata di carico utile in più ma siamo sempre tra i 14 milioni di dollari per tonnellata per il Falcon contro i 16 della Soyuz.

Tutto questo risparmio io non lo vedo o mi sfugge qualcosa?
Grazie a entrambi i Paolo per il divertimento intellettuale!
motogio:

Una cosa che non ho ancora capito: ma il santo vale la candela?.

Ma non era il gioco a non valere la candela???

Comunque... In un'intervista del 2012 Musk parlò di "single-digit hours turn-over", ovvero di manutenzione da fare in meno di 10 ore.

...partono le solite risate dell'audience :)...

Ok... può sembrare fuori dal mondo, ma io penso che si riferisse a un piano a lungo termine, nel quale immaginava una manutenzione del tipo di quella riservata agli aerei tra una missione e l'altra. Solo un po' più complicata. Musk deve essersi detto che adesso basta, togliamo alle missioni spaziali quest'aura di sacralità che impedisce di sviluppare una gestione commerciale e pratica. Io - e secondo me nessuno - non possò dire se lui o qualcun altro riusciranno in questo apparentemente assurdo obiettivo. Ma è vero che se non cominciamo a provarci non ci si riuscirà sicuramente mai.

p.s. pregasi notare che "ambasciator non porta pena." :)
@pgc

p.s. pregasi notare che "ambasciator non porta pena." :)

Questo è chiaro ma da quando hai scritto che conosci personalmente uno dei miei idoli d'infanzia un po' ti odio. :-)

Una cosa che non ho ancora capito: ma il santo vale la candela?.

Ma non era il gioco a non valere la candela???


É un modo di dire in uso da noi, terra di contadini e di banchieri; e a nessuno di loro piace sprecare soldi, specialmente per un santo che non da garanzie :-D

Scherzi a parte ti ringrazio ancora per la tua disponibilità.
Comunque... In un'intervista del 2012 Musk parlò di "single-digit hours turn-over", ovvero di manutenzione da fare in meno di 10 ore.

Credo che se si arrivasse a questo traguardo, i 4 - 9 milioni verrebbero risparmiati (oltre che per il fatto che un maggior numero di lanci per unità di tempo dovrebbe abbassare i costi), per esempio, nella pianificazione dei tempi di realizzazione di un progetto.

Mi spiego.
Se pensassi di costruirmi un agriturismo sulla Luna, la possibilità di avere dei vettori che mi permettano dei lanci di materiale ogni 10-12 ore, a fronte di una maggiore spesa per ogni lancio, avrei un maggiore guadagno dovuto al minore tempo di realizzazione della struttura perché sarebbe operativa (e produttiva) in molto meno tempo.

O no?
@ gpc
"il fatto che ci sia una "penalty" da pagare"

Forse con il 30% del payload perso sono necessari 4 lanci invece di 3 (circa)
e questo non mi sembra troppo economico.
La fattibilità dell' impresa è pure possibile con il doppio salto mortale,
ma bisogna dimostrare l'utilità della missione.
Probabilmente solo i militari sono interessati al riutilizzo immediato del vettore,
senza perdere tempo e spazio. ma se parliamo di costo allora conviene in made in China.



Poi confrontando il costo di un lancio con il Falcon 9 e di un Soyuz ST vedo che più o meno siamo lì (Space X stima un costo di 54 - 59 milioni di dollari mentre l' ESA spende 50 milioni di dollari a lancio con la Soyuz ST da Kourou; immagino che da Baikonur i costi siano minori).

Motogio, non sono d'accordo. Per le leggi orbitali da Baikonur puoi lanciare il massimo carico pagante di un vettore solo per orbite con angolo di 51° o maggiori rispetto all'equatore a causa della sua posizione (ed infatti non per nulla la ISS viaggia proprio con un orbita di 51°). Da Kourou che è praticamente sull'equatore puoi invece lanciare il massimo carico pagante del vettore su qualsiasi orbita tu intenda percorrere. Quindi un vettore Soyuz che parta da Kourou porterà in orbita un carico maggiore rispetto a uno che parta da Baikonur, con conseguente diminuizione del costo per tonnellata.
Altrimenti non avrebbe senso che avessero iniziato a lanciare Soyuz anche dalla Guyana francese ... :-)
Una domanda da me pilota di parapendio a voi rocket scientists: non sarebbe possibile e magari anche economicamente vantaggioso, attaccare un paracadute al primo stadio, per sfruttare ancora di più l'attrito atmosferico ed arrivare a terra con una velocità minore, per poi sganciarlo un attimo prima della seconda accensione dei retrorazzi?
Con un Rogallo si potrebbe anche, entro certi limiti, pensare di pilotare la planata verso il launch site...
Per rispondere a questa obiezione di kobotoz moboto ho aggiunto un paragrafo dove mostro che il delta-v gravitazionale tiene conto proprio di questo problema.
kobotoz: Forse con il 30% del payload perso sono necessari 4 lanci invece di 3 (circa)
e questo non mi sembra troppo economico.


Dipende. Se il costo per kg in orbita diventa per esempio inferiore a 1/20 di quello di un vettore non riutilizzabile, come negli obiettivi minimali di Elon Musk, si e di parecchio.
Ulisse: non sarebbe possibile e magari anche economicamente vantaggioso, attaccare un paracadute al primo stadio,

La cosa è stata discussa da molti appassionati ed esperti. Se ricordo bene il problema a conti fatti, data la leggerezza del primo stadio, un paracadute, oltre a creare problemi nel caso di RTLS, non introdurrebbe alcun vantaggio rispetto a un rientro completamente controllato dai retrorazzi.

p.s. nel frattempo il primo stadio del volo precedente è stato trovato e - forse - recuperato. Non si sa ancora in quale stato...
Paolo Calisse, è un piacere leggerti e continuare ad imparare da te anche dopo così tanti anni. :-)
Grazie ancora una volta!
@Vittorio

Grazie per le info; non conoscevo il limite dei 51°.

A dire il vero credevo che lasciassero dalla Guyana solo per una questione di sicurezza e di logistica.
@motogio
Di nulla! Più che un limite totale, quello dei gradi dell'orbita è un limite di peso trasportato. Infatti come ben ti ricorderai i Sovietici durante la corsa alla Luna avevano intenzione di lanciare da Baikonur, anche se (se non erro) l'orbita massima per la Luna deve essere di 5°. Ecco infatti come mai i veicoli russi per la Luna (Zond + Lunniy Korabl) pesavano un botto di meno del corrispondente complesso USA (Apollo + LM). Prima che qualcuno me lo ricordi sì, anche il vettore N1 non era performante come il Saturn V e questo già limitava i pesi, ma la latitudine di Baikonur era il limite finale per il carico.
@Vittorio

la latitudine di Baikonur era il limite finale per il carico.

Scusa se ne approfitto ma allora l'intenzione dei russi di spostarsi al cosmodromo di Plesetsk, che si trova a 62° a nord, con il neonato (si fa per dire) programma Angara non farà altro che peggiorare la competivita dei lanciatori russi se ho capito bene.

Ciao e grazie ancora.

Ps. Come è andata con il terremoto? Niente di serio spero.


@motogio

Scusa se ne approfitto ma allora l'intenzione dei russi di spostarsi al cosmodromo di Plesetsk, che si trova a 62° a nord, con il neonato (si fa per dire) programma Angara non farà altro che peggiorare la competivita dei lanciatori russi se ho capito bene.

Esattamente, ma in questo caso è un problema prettamente politico, in quanto Baikonur è in Kazhakistan, e la Russia paga fior di rubli per il noleggio del Cosmodromo. Angara è infatti "teoricamente" (perché non ha ancora mai volato) più performante degli attuali vettori Soyuz e Proton, quasi il doppio di quest'ultimo per la precisione (40t di carico utile). Ciò compensa ampiamente il problema dello spostamento ancora più a nord del sito di lancio.


Ps. Come è andata con il terremoto? Niente di serio spero.

A parte un po' di paura perché Trieste non è zona sismica riconosciuta (anche se le cronache dicono che nel 1200 ci fu uno tsunami) nessun danno a persone o cose nemmeno nella vicina Slovenia dove è stato registrato l'epicentro. Per precauzione hanno evacuato una scuola proprio nel paese più vicino all'epicentro, ma già dopo un'ora era di nuovo a lezione (gli sloveni sono come i tedeschi, gente seria ... :D )
Complimenti per l'articolo. Hai pensato di inserire il supporto a LaTex per le forumule, e.g. con MathJax ?
Ho aggiunto un aggiornamento che finalmente conferma l'esito positivo della missione...
Nel frattempo Musk fa causa alla United States Air Force nel tentativo di togliere il monopolio dei lanci militari alla United Launch Alliance:

Link: spacepolitics.com
Micro refuso nel paragrafo Il Delta-v gravitazionale

[Senza addentrarci in una dimostrazione rigorosa, nel caso di un razzo lanciato in verticale il delta-t gravitazionale sarà pari...]

delta-t gravitazionale --> delta-v gravitazionale

Ciao e complimenti
Che occhio! grazie ByZ-2K per la segnalazione. Corretto.

Qualcuno ha quindi seguito i conti passo passo? Mi piacerebbe saperlo per capire se l'articolo è troppo tecnico o no.
A me e' piaciuto molto e anzi ho apprezzato anche la presenza delle formule corredate dalle spiegazioni. Non mi e' sembrato eccessivamente complesso, ma un ottimo risultato divulgativo considerato il fatto che la materia originale dev'essere veramente ardua e vasta.
Un osservazione sull'esempio dello sparo e la derivazione "elementare" dell'EQT.

Nel calcolo della velocità di un proiettile l'eq. corretta da usare è quella della conservazione della quantità di moto (che indicherò con CQM), avendo a che fare con una variazione "discreta" di velocità, a causa del distacco instantaneo di una quantità di massa finita. Applicando poi la CQM poi a grandezze infinitesime si arriva facilmente alla EQT. Cominciamo dal caso dell'Ispettore Callaghan ed applichiamo la CQM.
Avendo che fare con le velocità relative basta trattare il problema nel riferimento del centro di massa, rispetto al quale, prima dello sparo il sistema è in quiete. Quindi, indicando con m la massa del corpo iniziale, con Dv la variazione di velocità del corpo, w la velocità d'espulsione del proiettile e Dm la massa espulsa:
0 = (m - Dm) Dv + w Dm ; ovvero: Dv = -w Dm/(m - Dm)
Il segno negativo indica che la direzione della variazione di velocità è opposta alla direzione della velocità d'espulsione.
(Calcolando con questa i valori relativi agli spari visti nell'articolo si ha una seppur minima differenza)

Nel caso del gas espulso dal razzo, l'eq della CQM usando le masse e le velocità iniziali e finali non è invece applicabile poiché la minima massa di gas espulso fa variare la velocità del corpo con continuità. Bisogna quindi considerare quantità infinitesime, ed abbiamo (ragionando come sopra):
0 = (m - dm) dv + w dm = m dv - dm dv + w dm
Eliminando l'infinitesimo di ordine superiore: dm dv, ottengo:
0 = m dv + w dm ; ovvero: dv = - w dm/m
Integrando: v1-v0 = -w (ln(m1) - ln(m0)) = -w ln(m1/m0) , ovvero l'EQT: Dv = w ln (m0/m1)
Osservazioni.
Anche nel caso dell'EQT la variazione di massa è in realtà discreta (atomo per atomo) ma l'approx di continuità (ovvero identificare ogni atomo con la massa infinitesima dm) è accettabile poiché la variazione di velocità per tale perdita atomica è praticamente nulla.
Usare l'EQT per l'esempio dello sparo è invece forzare un'approssimazione "concettualmente" non molto corretta, perché anche se la massa ceduta è piccola rispetto al corpo, è proprio la cessione (in un sol colpo e non con continuità) di quella massa "piccola" che crea la variazione di velocità che vogliamo stimare. E non è d'altronde necessario essendo l'eq corretta (CQM) ancora più semplice.
Riccardo,

come dici, il calcolo corretto andrebbe eseguito con la CQM, ma la EdT, a condizione che la massa del proiettile sia molto minore di quella di chi spara funziona alla grande, e soprattutto dimostra in un caso pratico come funziona l'equazione e come usarla in un caso discreto (proiettili invece di gas).

Facendo così i risultati diventano, per il primo sparo: velocità di deriva: 20/80.000*450 m/s = 0.1125 m/s (contro 0.112514). Per il secondo: 20/(80.000-20) * 450 m/s = 0.1125281 m/s (contro 0.112542)

La differenza tra secondo e primo colpo è di 0.0000281 m/s, identica (almeno a meno dell'1 per mille) con la differenza ottenua usando l'EdT. Stesso risultato immagino lo si possa ottenere sviluppando in serie di Taylor la differenza.

Aggiungerò una nota per evitare confusione, anche se mi pareva evidente che si trattasse di un'applicazione pratica per spiegare come funziona un motore a razzo.

Grazie comunque per l'attenzione. Mi fa piacere vedere che qualcuno abbia avuto la voglia di seguire tutto l'articolo. Vorrei che questo articolo fosse lo "standard" in lingua italiano per rispondere ai numerosi dubbi sulla strategia adottata da SpaceX. A giudicare dai click sembrerebbe che siamo sulla buona strada...

un saluto
Uhm, potrebbe essere che la differenza tra le due equazioni sia data da un parametro che nel calcolo del proiettile non viene considerato, ovvero il "rilevamento" (o impennamento)?

Chiedo neh, perché ne ho capito meno della metà di quanto avete scritto... :)
Ciao, forse son stato troppo pignolo ma il mio commento è sorto dal provare a casa a ricavare da me la formula dell'EQT, che non conoscevo, in modo semplice e visto che è possibile (e facile) ho voluto condividerlo con gli altri lettori, così chi vuole può "collegare" la EQT a qualcosa di (più o meno) "ovvio", la CQM. E non ho trovato modo migliore per ricollegarmi al problema, introdurre la CQM, e ricavare la formula da usare con gli infinitesimi, se non facendo il pignolo sull'esempio dello sparo. :-)
In effetti sostituire ln[m0/(m0-Dm)] con Dm/(m0-Dm) non è altro che un'approssimazione al primo ordine (secondo lo sviluppo in serie di Taylor), dato che ln(x) al primo ordine si approssima con x-1.
@stupidocane
Forse avendolo inserito a fini di comprensione dovevo essere un po' più chiaro sull'applicazione della conservazione della quantità di moto.

Quantità di moto di un corpo, si definisce così: massa * velocità del corpo: m*v
La legge di conservazione della quantità di moto dice che in un sistema isolato (ovvero non soggetto a forze esterne) la quantità di moto totale del sistema (che si calcola facendo la somma della quantità di moto di ogni componente del sistema) si conserva, ovvero rimane costante.
Nel caso di un corpo che si separa in due parti, la conservazione della quantità di moto si traduce così:
la quantità di moto prima della separazione è m0*v0 (con m0 massa totale del sistema e v0 sua velocità, ovvero velocità del suo centro di massa) è UGUALE alla quantità di moto dopo la separazione che è data da m1*v1+m2*v2 (con m1, v1, m2, v2 masse e velocità delle due parti in cui il sistema si è separato). Ovvero:
m0 v0 = m1 v1 + m2 v2
(ho tralasciato d'indicare, com'è uso, la moltiplicazione, al suo posto lasciando lo spazio)

Nel caso dello sparo:
1. Prima dello sparo.
L'ispettore è fermo, perciò v0 = 0
La massa totale del sistema è m0 = m (che è la somma della massa dell'ispettore e della massa del proiettile)
2. DOpo lo sparo.
Il proiettile ha massa m2 = Dm e velocità v2 = w
L'ispettore ha massa m1 = m - Dm (ha perso la massa del proiettile) e velocità (incognita) Dv
Quindi l'eq dovuta alla conservazione della quantità di moto: m0 v0 = m1v1 + m2 v2, diventa:
0 = (m - Dm) Dv + w Dm.
Da cui si ricava: Dv = - w Dm / (m -Dm).

Questa equazione non vale solo nel caso in cui l'ispettore spara da fermo perché è possibile riferire tutto il ragionamento al sistema di riferimento nel centro di massa, che prima di ogni sparo è nel centro di massa dell'Ispettore, e vale quindi anche quando l'ispettore è già in moto rettilineo uniforme (è sul ghiaccio) a causa della velocità acquisita con gli spari precedenti.

La sostituzione delle "grandezze" infinitesime dv a Dv e dm a Dm non presenta problemi.
Per gli altri passaggi, l'eliminazione dell'infinitesimo dm*dv, perché di ordine superiore rispetto agli altri, e l'integrazione dell'eq. differenziale invece bisogna che uno abbia un po' di conoscenza di ciò che siano, appunto, infinitesimi ed integrali. A proposito l'integrale dei due membri dell'equazione con gli infinitesimi è stata fatta naturalmente a destra e sinistra con estremi negli stessi "istanti", in quello iniziale (con v = v0 e m = m0) e finale (con v = v1 e m = m1)

Un'osservazione: in realtà il sistema ispettore-proiettile non è isolato, è sottoposto a gravità e reazione vincolare del terreno, però la componente di tali forze è ortogonale alla direzione del movimento che consideriamo (orizzontale) e quindi non influisce.
Un'osservazione: in realtà il sistema ispettore-proiettile non è isolato, è sottoposto a gravità e reazione vincolare del terreno, però la componente di tali forze è ortogonale alla direzione del movimento che consideriamo (orizzontale) e quindi non influisce.

E se sparasse in aria? Avrebbe le stesse condizioni di un missile in partenza, no?
@stupidocane
La differenza (minima) fra i valori nelle velocità d sparo non è dovuta ad alcun impennamento ma solo all'usare l'EQT o la CQM. Nel caso di espulsione continua di massa con velocità relativa (al corpo) w va usata la EQT (che si ottiene integrando la relazione ottenuta con la CQM, che altro non è che sommare su ogni espulsione infinitesima, e infatti il simbolo di integrale non è altro che una S stilizzata). Nel caso di un'espulsione invece "discreta" (cioè in un blocco unico, anche se piccolo) è più corretto usare la CQM.

Se però l'espulsione discreta ha massa molto piccola rispetto al corpo usare l'EQT è una buona approssimazione e le differenze sono minime (come infatti nel testo). Pgc ha usato il caso dello sparo come esempio del fatto che con il continuare delle espulsioni la velocità aumenta sempre più a casua del diminuire della massa del corpo. La differenza (in termini numerici) fra l'usare, nel caso discreto, EQT o CQM equivale ad approssimare il logaritmo naturale ln(x) con il valore x-1. Questa è un'ottima approssimazione solo se x è vicino a 1, e nel nostro caso lo è visto che x = 80000 /(80000 - 20) proprio perché la massa espulsa è piccola rispetto al corpo.
In realtà l'analogia col razzo sarebbe se sparasse verso il basso (l'ispettore è il razzo e il proiettile il gas espulso). In tal caso però la forza di gravità è tale che l'ispettore non si alzerebbe d'un millimetro. E infatti non vale la CQM proprio perché il corpo non è isolato nella direzione dello spostamento ma sottoposto a forza di gravità. E penso non valga nemmen la EQT (al "naturale") proprio perché non vale la CQM
Bisogna considerare l'effetto della gravità e, per velocità non bassissime, la resistenza dell'aria. Questo punto l'ha trattato pgc nel testo sottolineando che in tal caso si introducono correzioni apposite.
Volendo fare il conto della spinta che riceverebbe l'ispettore verso l'alto sparando verso il basso possiamo comuqnue, ragionando allo stesso modo, far così. Non abbiamo la conservazione della untità di moto però viene in nostro soccorso il teorema dell'impulso che ci dice come si lega la variazione della quantità di moto all'azione delle forze agenti sul sistema durante il tempo dell'interazione.
Questo teorema ci dice che nel caso (come il nostro) di forze costanti (la gravità) la variazione della quantità di moto è pari al prodotto della risultante delle forze agenti per l'intervallo di tempo: DQ = F * Dt, dove DQ è la variazione della quantità di moto (delta Q), Dt l'intervallo di tempo, F la forza agente (costante) . Poiché nello sparo l'interazione è (quasi) immediata, ovvero l'intervallo di tempo (quasi) nullo, e la gravità non eccessivamente elevata, questo prodotto è praticamente zero. Quindi durante l'istante dello sparo, l'azione della forza di gravità è (quasi) nulla e la trascuriamo.

Si ha quindi ancora la Conservazione della quantità di moto (fra l'istante appena prima dello sparo e quello appena dopo) e ricaviamo la velocità acquistata dall'Ispettore allo stesso modo usato in precedenza Dv = w Dm / (m - Dm) ottenendo un valore di 450*20/(80000-20) = 0,112528132 m/s.
A questo punto però agisce la forza di gravità, ed abbiamo un moto uniformemente accelerato verso il basso con velocità iniziale verso l'alto pari a 0,112528132 m/s. L'equazione della velocità è: v1 = v0 + a t (con a accelerazione costante), e nel caso nostro, a = g (accelerazione di gravità pari, in media, al terreno, a 9,81 m/s^2) diretta in senso contrario a v0:
v1 = v0 - g t

Vediamo quanto ci vuole alla gravità ad annullare l'effetto dello sparo.
La velocità verso l'alto si annulla in quanto? Ponendo v1=0
0 = v0 - g t, ovvero t = v0 / g
Il tempo di ricaduta (cioè quanto ci vuole all'ispettore per tornare con i piedi per terra) è evidentemente il doppio (per simmetria):
Quindi t = 2 v0 / g e sostituendovi i valori si ottiene 2*0,112528132/9,81 = 0,023502818 secondi, ovvero poco più di 2 centesimi di secondo.
Purtroppo questo mdo di fare non si può iterare come prima perché in tal caso l'intervallo di tempo diventa sensibile e non si può più trascurare la gravità e l'attrito dell'aria (che sopra una certa velocità diventa sensibile).

Credo che il moto verso l'alto (trascurando l'attrito dell'aria), ovvero il "delta V gravitazionale", venga trattato usando la variazione di energia potenziale gravitazione, ma di questo niente so. ;-)
@ Riccardo

# 54 Ok, ci sono. Grazie del chiarimento.

# 55 Hai ragione. Nel mio esempio di sparo verso l'alto, ho scambiato i soggetti in accelerazione. Io mi riferivo al proiettile, mentre tu, giustamente, hai mantenuto come punto di riferimento Callaghan che è, di fatto, il soggetto che dovrebbe accelerare per simulare la partenza del missile.

Se non hai capito cos'ho scritto, non ti crucciare. E' sicuramente per colpa della mia ignoranza in materia. L'importante è che mi sia capito da solo. Non sono un fisico e sono pure scarsino in matematica ma almeno mi hai chiarito alcunii concetti.

O sono io che presumo di averli capiti?... uhm... Oddio, dal punto di vista filosofic...oh, toh guarda, è mezzogiorno passato. Cibo!

:)
Fra l'altro anche il delta V gravitazionale indicato nel testo (g*t) si deriva facilmente dalla definizione stessa di accelerazione.
L'accelerazione è (in soldoni) pari alla velocità fratto il tempo (così come la velocità è pari allo spazio fratto il tempo). Quindi indicando la variazione di velocità durante l'istante t si ha:
a = Dv / t
Considerando l'accelerazione costante (nel nostro caso la gravità, che non varia molto finché si rimane in prossimità della Terra) si ottiene appunto il "delta V gravitazionale" riportato nel testo:
Dv = a t (e basta sostituire ad a l'accelerazione di gravità g)

[ed è quel che ho usato prima anch'io nel commento precedente, infatti: Dv = v1-v0, quindi: v1 - v0 = a t, da cui: v1 = a t + v0]

Io però di razzi, aereodinamica, etc. niente so. So solo qualcosa di Fisica e un po' di più di Matematica (essendo laureato in questa, vecchio ordinamento) .
Il caso del proiettile sparato in alto (invece dell'ispettore) può esser visto come buon esempio per la perdità di velocità dovuta alla gravitazione, ovvero (appunto) il "delta-V gravitazionale". Quel che ci serve è solo la sua velocità di partenza verso l'alto: v0 = 450 m / s. Usando la formula: Dv = g t si ottiene v1 = v0 - g t, ovvero dopo un tempo t la sua velocità sarà arrivata a v1 = 450 - 9,81*t m/s. Ponendo v1 = 0 trovo dopo quanto tempo si ferma: t = v0 / g = 450 / 9,81= 45,87 secondi. A tornare a Terra impiegherà il doppio del tempo 2*t = circa 92 secondi, ed arriverà con veocità pari a quella di partenza.

Se si vuole sapere anche a che altezza arriva il proiettile bisogna integrare l'equazione della velocità (per accelerazione costante) ed otteniamo la formula del moto uniformemente accelerato.
Integrando Dv = a t, otteniamo, poichè l'accelerazione è costante, cioè non dipende da t, Ds = Dv*t + a*t^2 /2, dove Ds indica la variazione di spazio.
Quindi, sostituendo a t il valore per cui la velocità si arresta t= v0 / g ottengo:
Ds = v0*(v0/g) - [g*(v0/g)^2]/2 = (v0^2) / (2*g)
(il meno davanti al secondo termine è dovuto per rispettare che la velocità iniziale v0 e l'accelerazione di gravità han senso contrario)
e quindi il mio proiettile raggiungerà un'altezza pari a (450^2) / (2*9,81) = 10321,10 m

ATTENZIONE: tutto ciò calcolato trascurando l'attrito dell'aria che invece un po' influisce, data la velocità del proiettile. E infatti nel calcolo per i razzi "veri" c'è una altro termine di correzione il "delta-V aereodinamico"
ed arriverà con veocità pari a quella di partenza.

? Ma l'accelerazione di gravità non è inferiore? Come può ritornare a terra con la stessa velocità della partenza? La gravità terrestre non arriva a tanto. E quindi il tempo di discesa dovrebbe essere superiore rispetto al tempo di salita, proprio perché il proiettile viaggia molto più lentamente.

Oppure sto solo dimostrando che non ci ho capito davvero un tubo?
Questo commento è stato eliminato dall'autore.
Ciao a tutti,

nell'articolo non ho voluto dare una derivazione rigorosa di tutto, ma solo indicare la strada attraverso cui ottenerlo e gli strumenti per poter fare alcuni calcoli da soli se interessati. Ovviamente nel divulgare si deve scegliere un taglio. Io ho scelto questo punto di incontro tra le diverse esigenze, rinunciando ad alcuni dettagli come la derivazione dell'EdT che a mio parere sarebbe stata un po' troppo lungo e pesante.

E adesso alcuni commenti su quanto di interessante postato da Riccardo e Stupidocane:

In realtà l'analogia col razzo sarebbe se sparasse verso il basso.

Non del tutto vero. In realtà, se non ci fosse l'atmosfera (differenza non da poco, eh!), lanciare un razzo verso l'alto non è nè l'unico nè il più efficiente modo di mettere oggetti in orbita. In realtà la cosa migliore sarebbe accelerare il razzo (per esempio su un binario) e "aspettare" che il razzo raggiunga la velocità orbitale. In questo caso (1) anche un motore con spinta inferiore al peso del razzo funzionerebbe, il che rimuoverebbe il problema della densità di energia che rende i motori a razzo così complessi. Ma soprattutto (2) non si pagherebbe il pegno dovuto al delta-v gravitazionale, in quanto il razzo non dovrebbe sollevare il peso del carburante a raggiungere la velocità orbitale.

In altre parole, sarebbe meglio accelerare e POI sollevare il payload, piuttosto che alzare e poi accelerare come si fa di solito. Per questo la traiettoria reale dei razzi lanciati da Terra tende a diventare più orizzontale possibile appena abbandonata la parte spessa dell'atmosfera. Vorrei essere chiaro su questo punto, perchè il tradizionale lancio in verticale è all'origine del tradizionale idea che il razzo si debba allontanare da terra per entrare in orbita, che non è necessariamente vero: il problema è solo quello che in un'atmosfera densa anche Mach 1 è difficile da raggiungere.

La convenienza sta tutta nel delta-g gravitazionale. Praticamente il problema dei lanci in orbita è che siamo costretti, a causa del delta-v aerodinamico (e, nel caso della Luna dalla... mancanza di un binario!), a sprecare un enorme quantità di energia sollevando in aria il propellente necessario a raggiungere la velocità orbitale. In teoria, un motore a ioni potrebbe essere usato per mettere in orbia un oggetto con un quantitativo di propellente ridicolo rispetto a quello dei vettori attuali, dato che avrebbe velocità Vexh molto molto superiori (fino a 50 km/s, allo stato attuale della tecnologia).

Quindi il paragone con Callaghan sul ghiaccio è in questo senso appropriato. Ah, e prima che venga in mente a qualcuno, non sarebbe come un mass driver, che si basa sullo stesso principio ma fornisce energia dall'esterno al sistema da mettere in orbita, per esempio attraverso un campo magnetico, e per il quale quindi, non vale l'EdT.

Il caso dell'ispettore Callaghan è (leggermente) sbagliato quantitativamente perchè la pistola, almeno nel sistema usato di solito per fare questi conti, emette il proiettile in un singolo istante. Per spiegarmi meglio (ma anche Riccardo ha detto cose analoghe), il problema è che quando emette la seconda metà del proiettile, la massa del vettore non è 79.980 g, ma ancora 80.000 g. Questo "appesantisce" il "vettore" (Callaghan) di quella piccola quantità che basta a ridurre il delta-v finale. E infatti il valore del delta-v calcolato via CQM è INFERIORE a quello calcolato dalla EdT.

Altre risposte a più tardi. Al momento sono un po' occupato.

Saludos
pgc,

nell'articolo non ho voluto dare una derivazione rigorosa di tutto

Non ti preoccupare. Abbiamo tutti sottinteso che tu avevi assunto il caso di un ispettore Callaghan perfettamente sferico :-)
Questo commento è stato eliminato dall'autore.
Riccardo,

alla tua derivazione della EdT personalmente ne preferisco un'altra (è evidente che qui ci sta di mezzo l'essere un fisico o un matematico :)...).

Parlo semplicemente dal fatto che per un razzo in traiettoria verticale, la risultante delle forze applicate è: F = T - m*g, dove T è la spinta (Thrust), e m la massa m(t) = m0*(1-kt), dove m0 è la massa iniziale del vettore carico di propellente. Il thrust è abbastanza comprensibile - penso - che sia proporzionale sia alla massa di gas emessa che alla velocità di scarico dei gas, cioè T = k * Vexh, dove k rappresenta la perdita di massa per unità di tempo, cioè la derivata della massa del razzo.

Da questo e dal secondo principio della dinamica (F = ma) si ricava che m0 * (1 - kt) a = F = -k * Vexh - m0*(1 - kt)*g, da cui con facili sostituzioni:

a = - k*Vexh / [m*g(1-kt)] - g

Senza fare tutti i passaggi, è chiaro che calcolando l'integrale nel tempo a diventi v (per definizione), mentre g si trasforma in g*t, che spiega quel fattore g*t che rappresenta il delta-v gravitazionale per traiettorie perfettamente verticali. L'altro termine, quello più complicato, porta invece al fattore di destra dell'Edt, che infatti trascura la presenza della forza di gravità.

Nel caso generale di una traiettoria qualsiasi, basta eseguire l'integrale invece che con g con un fattore g*cos(e), dove e è l'angolo tra traiettoria e orizzonte (90 gradi per traiettorie verticali e 0 gradi per traiettorie orizzontali.

Chiaro o meno? Se il ragionamento è vagamente chiaro per un pubblico scanzonato come quello di Paolo lo aggiungo all'articolo...
ahahaha, almeno nella tua non c'è il "magheggio" dell'eliminazione dell'infinitesimo di ordine superiore.
Però secondo me ci sono due disattenzioni.
1) La prima è nell'espressione della massa variabile col tempo. Da come hai definito k e T = k*Vexh, k è la perdita di massa per unità di tempo, quindi: k= (m0-m1)/t e dunque: m=m1=m0-k*t [e non m0(1-k*t)]
2) L'altra è veramente una piccolezza: avendo T verso contrario a g, nell'espressione della forza ha segno + e non -, ovvero: m*a=F=T-m*g=k*Vexh-m*g
E ciò è necessario per avere nell'EQT il logaritmo del rapporto (m0/m1) invece del contrario.

Facendo tutti i passaggi infatti viene:
m a=F=T-m g
a=T/m -g
E integrando:
Dv=S[T/m dt] -gt
Ho indicato con S l'integrale. Facciamo questo integrale:
S[T/m dt] = S[ T / (m0-kt) dt] ={T è costante} T S[1 / (m0-kt) dt]
{E facendo l'integrale: }
= T [ln(m0 - kt) / (-k)] [da valutare fra t1 = t e t0 = 0] = T [ln(m0 - kt) - ln(m0) ] /(-k) = T/(-k) [ln(m1) - ln(m0)]
= (k Vexh / k) *[- ln(m1/m0)] = Vexh ln(m0/m1)
che è proprio l'EQT.
Domanda, forse pertinente, forse no.

Propulsione a ioni. Ho letto degli esperimenti fatti dalla NASA con il promettente xeno. Ammesso e non concesso che si trovino altri elementi più performanti, in termini di spinta, sarà possibile utilizzarli anche per i decolli oppure, per quanto possano essere potenti, non riusciranno mai a raggiungere le potenze dai propulsori chimici?
Grazie per le correzioni, Riccardo. Ho fatto questo errore perchè {seguono varie scuse più o meno verosimili: nonna malata, distrazione, divorzio imminente o trasferimento col cane in Sud Africa, a scelta :) }.

Quello che mi premeva mostrare è soprattutto come sia facile ottenere una derivazione del delta-g gravitazionale, almeno in un semplice caso, in un modo che può essere seguito avendo solo qualche ricordo del calcolo integrale dal Liceo.

La derivazione è adesso corretta e la integrerò (domani) nell'articolo.

Stupidocane:

è considerato generalmente altamente improbabile che un motore a ioni possa essere impiegato per mettere in orbita oggetti in un futuro anche remoto. Qui si parla ancora di frazioni di Newton di spinta, contro qualche milione di N ottenibili con un motore chimico.

Ma c'è sempre la possibilità di una scoperta improvvisa e imprevedibile, o di un progresso lento ma inesorabile. Una possibilità futura potrebbe essere lo space elevator, ma anche li siamo parecchio lontanti dall'ottenere un materiale in grado di permetterlo e nessuno può dire che ci si arriverà mai. Più probabile che possa trovare applicazioni in futuro per la discesa e la risalita da pianeti come Marte, o da satelliti come la Luna. Ma le mie sono solo speculazioni che valgono il tempo che trovano.

La realtà è che nessuno può dire quale sarà la tecnologia vincente di un futuro lontano. I motori a razzo a propellente liquido sono stati sviluppati praticamente da zero in pochi anni. Lo sviluppo dell'F-1 usato dal Saturn V, ovvero del più potente motore a combustibile liquido a camera singola, cominciò negli anni '55 (una storia avvincente più di un giallo...), ovvero PRIMA del lancio dello Sputnik. Il progresso, da allora, non è stato granchè tutto sommato, e si hanno seri problemi anche a rimpiazzare il motore RD-180, prodotto in Russia ma impiegato dal Dip.to della Difesa USA per l'EELV.

Ma è anche vero che il paragone potrebbe risultare ingenuo. Sarebbe come dire che la potenza di calcolo con le valvole non poteva raggiungere più di tanto, e che quindi i computer non sarebbero potuti diventare molto più potenti di un ENIAC. Dimenticando che l'invenzione del transistor e poi del microchip ha portato a progressi clamorosi solo qualche decade dopo.
@ pgc
" l'invenzione del transistor e poi del microchip ha portato a progressi clamorosi"

E il primo computer a microchip e' stato costruito per essere mandato sulla Luna da un Saturn V. Il gatto che si morde la coda :-)
Giuliano47: E il primo computer a microchip e' stato costruito per essere mandato sulla Luna da un Saturn V.

Anch'io ero convinto che fosse come dici te, sebbene mi sorprendesse che per un'impresa così critica fosse stata usata una tecnologia non ancora pienamente testata sul campo. Indagini successive mi hanno portato a concludere che infatti le cose stanno in maniera diversa: l'AGC (Apollo Guidance Computer) è stato uno dei primi computer basati su IC, non il primo.

Un computer basato su IC era già operativo sul sistema di guida dei missili ICBM Minuteman I, il D-17B, sviluppato nel 1962, e che tra l'altro aveva disponeva di una memoria simile ad un disco rigido sia per i dati che come memoria di sistema, mentre l'AGC venne sviluppato a partire dal '61 e impiegato per la prima volta in un volo reale nel '66. Il circuito integrato è inoltre un'invenzione indipendente dal progetto Apollo, sebbene i due progetti abbiano certamente giovato l'uno dell'altro.

Senza contare un piccolo prototipo costruito da Texas Instrument alla fine degli anni '50 proprio per rispondere ai molti critici dei circuiti integrati, che li ritenevano inaffidabili e che dissipavano troppa potenza.
prova - solo una prova - non considerate!
@pgc e @Riccardo Montorzi

Grazie della lectio magistralis e della correctio magistralis :-)
Ripasserò matematica e fisica, alzando il calice al fesso.