A proposito di coincidenze

di Paolo G. Calisse

Ci si può chiedere quale sia la probabilità che un evento del tipo di quello segnalato da Paolo in un suo precedente articolo - un personaggio del calibro di George Lucas che appare casualmente sullo sfondo di un video di YouTube - accada realmente. Ho tentato di fare una stima usando un approccio molto semplice e lineare. Potete farlo anche voi copiando l'algoritmo ottenuto più in basso in un foglio di calcolo e inserendo i dati di ingresso che ritenete più ragionevoli, per verificare se la coincidenza sia spettacolare o rientri tutto sommato nella normalità delle cose. La mia stima si basa ovviamente su un numero di assunzioni che discuto nel seguito.

Alla ricerca dell'algoritmo

Chiamiamo per prima cosa Nvid il numero di video ripresi per strada e disponibili su Youtube. Supponiamo per cominciare che Nvid = 1.000. Assumiamo inoltre che ci siano Nvip personaggi noti del calibro di Lucas che saremmo sorpresi di incontrare in uno di questi video e che Nvip = 1.000. Troppi? Pochi? Ne discuteremo più oltre. Per semplicità, possiamo ritenere che tali VIP siano distribuiti uniformemente su tutto il territorio USA, dove Ntot = 328 milioni di persone, e che seguano le stesse abitudini di noi comuni mortali nel circolare per strada: orari, distribuzione, etc. In mancanza di informazioni più precise non possiamo fare altro che accettare questa assunzione, su cui comunque torneremo in seguito.

Ora, se ci sono Nvip volti noti distribuiti uniformemente tra Ntot persone, la probabilità che qualcuno sia un VIP sarà Nvip/Ntot e quindi la probabilità - molto alta - che non lo sia:

1-Nvip/Ntot

Infatti la somma delle probabilità di non conoscere o di conoscere almeno una persona deve essere per forza di cose pari ad uno.

Immaginiamo adesso che in ogni video si vedano in genere Np persone riconoscibili passare sullo sfondo. Assumiamo per adesso che Np = 10. Si tratta probabilmente di una grossolana sottostima, considerata la durata tipica di molti di questi video.

Ora, se i video sono Nvid, il numero totale di persone riconoscibili che passano sullo sfondo del numero totale di video disponibili sarà Nvid*Np. A questo punto non dovrebbe essere difficile convincersi che la probabilità che nessuno di costoro sia un volto noto sarà:

(1-Nvip/Ntot)*(1-Nvip/Ntot)*...*(1-Nvip/Ntot)

dove il prodotto viene ripetuto Nvid*Np volte ovvero

(1-Nvip/Ntot)^(Nvid*Np)

che è il prodotto della probabilità che ciascuna delle persone visibili in tutti i video disponibili sia un comune mortale. A questo punto per sapere qual è la probabilità che almeno uno di costoro sia un volto noto basterà semplicemente calcolare la differenza tra uno e la probabilità precedente. Si ottiene quindi:

P = 1-(1-Nvip/Ntot)^(Nvid*Np)

che ci consente di stimare la probabilità di scoprire un volto molto noto all'interno di uno di quei video.

Proviamo adesso a inserire in questa semplice formula le stime precedenti:

• Nvip = 1.000 = personaggi noti quanto Lucas presenti sul territorio USA in ogni momento. Questo numero includerà politici, sportivi famosi, personaggi dello spettacolo, etc.
• Ntot = 328.000.000 = popolazione USA
• Nvid = 1.000 = numero totale di video abbastanza popolari disponibili su YouTube e registrati in pubblico
• Np = 10 = numero medio di persone che passano sullo sfondo di ciascuno di quei video.

Il risultato che si ottiene inserendo questi dati nell'algoritmo che ho ottenuto sarà un misero P1 = 3%. Sembrerebbe quindi che in effetti la probabilità di vedere almeno un volto noto passare per caso sullo sfondo di uno dei video presenti su YouTube sia piuttosto bassa, anche ammettendo che vengano riconosciuti tutti.

Ma a pensarci bene VIP e riprese non sono distribuiti a caso su tutto il territorio USA ma accentrati in luoghi specifici. Difficile infatti trovare un video del genere di quello mostrato girato nelle sconfinate praterie USA o in un microscopico villaggio del Midwest o dell'Alaska. Molto più probabile trovarne di ambientati per le strade del centro di Los Angeles o New York.

Assumiamo allora che gli stessi video vengano girati tutti nelle 10 più popolose aree urbane USA, ovvero Los Angeles, New York, Chicago, etc. fino alla già meno nota San José. In questo caso Ntot = 26 milioni di abitanti. Probabilmente stiamo ancora sovrastimando il modo con cui si comportano questi VIP, certamente più abituati a frequentare grandi alberghi o quartieri altolocati che malfamate e insicure periferie cittadine. Comunque sia, assumiamo che in queste 10 città vi siano in ogni dato momento almeno 1.000 VIP. In effetti solo Los Angeles e New York ospitano probabilmente centinaia di attori che vivono e lavorano in un'area ristrettissima popolata da pochi milioni di abitanti.

Applicando lo stesso algoritmo con i nuovi dati:

Nvid = 1.000

Np = 10

Nvip = 1.000

Ntot =26.000.000

il risultato cresce ad un sorprendente P2 = 32%.

In alternativa, considerato che YouTube ospita circa 2 miliardi e mezzo di video, è certamente possibile che vi siano però almeno 10.000 video girati in pubblico e che abbiano un numero di visitatori tale da permettere a qualcuno di notare una persona importante sullo sfondo. Anche considerato che il "pyroprocessing" non è esattamente un argomento alla moda e nonostante questo il video considerato nell'articolo cattura l'attenzione di oltre 4 milioni di spettatori!

Se così fosse la probabilità di avere almeno un video con un VIP sullo sfondo crescerebbe fino alla quasi assoluta certezza: P3 = 98%.

Sono possibili altre variazioni sul tema. Per esempio si può assumere che il numero di VIP resti uguale a prima ma che il numero di video sia superiore di altrettanto (Nvid = 10.000).

Nvid = 10.000

Np = 10

Nvip = 1000

Ntot = 26.000.000

In tal caso il risultato salirebbe alla quasi certezza

P3 = 98%.

Si può anche essere meno "ottimisti" e considerare il caso di 10.000 video ma 100 VIP che si aggirano per le 10 città più importanti. In questo caso

Nvid = 10.000

Np = 10

Nvip = 100

Ntot =26.000.000

la probabilità torna ad essere straordinariamente simile al caso P2: P4 = 32%. La similarità tra i due casi è abbastanza sorprendente in effetti e dovuta anche all'arrotondamento.

Noto infine che il risultato dipende unicamente da Np*Nvid e Nvip/Ntot, non dai 4 dati in ingresso. Quindi, fino a quando questi due fattori restano identici, il risultato sarà sempre lo stesso.

Nella figura che segue ho riportato tutti i casi che ho considerato. Copiando l'algoritmo il lettore può divertirsi a trarre le proprie stime.

Conclusioni

Se questa stima non è in grado di valutare con precisione sufficiente quale sia la probabilità di individuare un qualche VIP per caso su YouTube, mostra tuttavia che con una scelta comunque ragionevole dei parametri in gioco la probabilità di trovarne prima o poi uno non è così bassa come si potrebbe ritenere a prima vista.

Si potrebbe anche obiettare che in realtà la probabilità che cerchiamo sia quella di trovare George Lucas, e non "un VIP qualsiasi" sullo sfondo di un video. Ma attenzione, bisogna stare attenti a definire correttamente la peculiarità di quel video: l'aspetto curioso non è che Lucas sia stato ripreso fortuitamente in un video che parla di pyroprocessing, ma che un personaggio molto noto sia stato ripreso in un video abbastanza popolare presente su YouTube. Se infatti si fosse trattato di Ridley Scott, di James Cameron* o di uno fra le migliaia di personaggi del mondo dello spettacolo, della cultura (immaginate di scorgere Stephen King, sapreste riconoscerlo?) o della politica, non sareste rimasti ugualmente stupiti?

E' anche interessante che lo stesso algoritmo può essere facilmente applicato, con qualche piccola variazione, a molte altre situazioni. Per esempio alla probabilità di incontrare un vecchio compagno di scuola per caso nella nostra città. Lascio al lettore questo facile esercizio.

* Come ho raccontato tempo addietro in un commento su questo stesso blog, mi è capitato per caso di conversare per diverse ore proprio con James Cameron, ma senza avere idea di chi fosse. In quell´occasione gli ripetei più volte, dopo che mi aveva detto di "lavorare nel cinema" e di "avere lavorato in film come Terminator" (almeno così mi era sembrato di capire con il mio pessimo inglese dei tempi) che... a me purtroppo i film di quel genere non sono mai piaciuti. Ma eravamo entrambi su un C-130 semivuoto diretto dalla base USA di McMurdo a quella di South Pole, non proprio una situazione comune. Il che rende questa analisi probabilistica del tutto inapplicabile.